Verwisselbare random variabelen

In de kansrekening en statistiek, een opeenvolging van verwisselbare random variabelen is een reeks zodanig dat toekomstige waarnemingen zal gedragen als het verleden of, anders gezegd, elke herschikking van een eindige deelverzameling van de monsters is even waarschijnlijk . Dit concept formaliseert het begrip "de toekomst voorspelbaar gezien het verleden."

Een opeenvolging van onafhankelijke willekeurige variabelen met dezelfde verdeling is uitwisselbaar. Maar onafhankelijkheid is niet necesiaria voorwaarde voor uitwisselbaarheid.

Het begrip is essentieel in de ontwikkeling van voorspellende gevolgtrekking Bruno de Finetti en Bayesiaanse statistiek sinds terwijl statistici gebruiken iid frequentistische, Bayesiaanse meest gebruikte verwisselbaar sequenties.

Definitie

Opeenvolgende verwisselbare random variabelen een eindige of oneindige reeks X1, X2, X3, ... willekeurige variabelen zodanig dat voor elke eindige permutatie σ indices 1, 2, 3, ... ,, de waarschijnlijkheidsverdeling van de gepermuteerd opeenvolging

is dezelfde als die van de oorspronkelijke sequentie.

Een opeenvolging van gebeurtenissen E1, E2, E3, ... worden gezegd uitwisselbaar wanneer het de opvolging van hun indicator functies ..

De distributiefunctie FX1, ..., Xn van een eindige reeks van verwisselbare willekeurige variabelen moeten symmetrisch in zijn argumenten x1, ..., xn zijn.

Voorbeelden

  • Elke gewogen gemiddelde van de sequenties van random variabelen iid Het is uitwisselbaar.
  • Schrijf een urn met n en m rode ballen blauwe ballen. Veronderstellen dat de ballen worden getrokken zonder vervanging tot de stembus leeg is. Xi is de willekeurige variabele die aangeeft of de i-bal was rood. Vervolgens {Xi} i = 1, ... n is uitwisselbaar.
  • Het is een willekeurige variabele met bivariate normale verdeling met parameters, en willekeurige correlatiecoëfficiënt. En willekeurige variabelen zijn uitwisselbaar, maar alleen als onafhankelijke.

Properties

  • Finetti stelling van 'gekenmerkt sequenties van verwisselbare willekeurige variabelen-sequenties mengsels iid
  • Een opeenvolging van verwisselbare random variabelen strikt stationaria, dus voldoen aan een wet van de grote getallen in de vorm van de stelling van Birkhoff-Khinchin stelling.
  • Voor een eindige reeks {Xi} uitwisselbaar i = 1, 2, 3, ... van lengte n:
  • Voor een eindeloze opeenvolging uitwisselbaar

Toepassingen

De Von Neumann extractor een extractor willekeur afhankelijk van de uitwisselbaarheid: biedt een manier om een ​​uitwisselbare opeenvolging van nullen en enen uit andere langste ter kans maken p.

Het werkt op deze manier: de oorspronkelijke volgorde wordt opgesplitst in verschillende paren. Als de twee elementen van het paar gelijk wordt weggegooid. Als ze verschillend zijn, behalve de eerste.

(0)
(0)
Vorige artikel Bess Meredyth
Volgende artikel Kleptocratie

Commentaren - 0

Geen reacties

Voeg een Commentaar

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Tekens over: 3000
captcha