Kronecker product

In de wiskunde wordt Kronecker product genoemd, aangegeven met een bewerking van twee arrays van willekeurige grootte resulteert in een matrix blok. Het is een speciaal geval van tensorprodukt. De Kronecker product moet niet worden verward met de gebruikelijke matrix product, dat is een heel andere operatie. Het werd vernoemd naar de Duitse wiskundige Leopold Kronecker.

Definitie

Als A een mn matrix en B is één pq matrix dan de Kronecker product AB is de matrix blok mpnq

Explicieter, we

Voorbeelden

Properties

Bilinearity en associativiteit

Het Kronecker product is een speciaal geval van tensorprodukt, zodat het bilineaire en associatieve

waarbij A, B en C zijn matrices en k een scalair.

Het Kronecker product is niet commutatief in het algemeen, AB en BA zijn verschillende matrices. Echter, AB en BA gelijkwaardig zijn in de handel, waardoor er permutatiematrices P en Q zodanig dat

Als A en B vierkante matrices, vervolgens AB en BA zelfs permutatie vergelijkbaar, waardoor we P = Q. nemen

Eigendom van het combinatieproduct

Indien A, B, C en D matrices kunnen worden gevormd, zodat de AC en BD producten vervolgens

Dit heet gemengde producteigendom, omdat mengt de gewone matrix product en de Kronecker. Bijgevolg AB inverteerbaar als en slechts als A en B inverteerbaar, waarbij de inverse geeft

Hieruit volgt ook dat

doneren T geeft matrix omzetting.

Spectrum

Neem aan dat A en B vierkante matrices met respectievelijke afmetingen n en q. Laat λ1, ..., λn de eigenwaarden van A en μ1, ..., μq die van B. Dan de eigenwaarden van AB zijn

Hieruit volgt dat het spoor en de determinant van een Kronecker product worden gegeven door

Singuliere waarden

Als A en B zijn rechthoekige matrices, dan kan men overwegen de singuliere waarden. Stel dat A is nul singuliere waarden rA

Evenzo duiden we de nul singuliere waarden van B

Dan is de Kronecker product AB heeft RaRb nul singuliere waarden,

Daar de matrix is ​​gelijk aan het aantal niet-nul singuliere waarden vinden we dat

Relatie met abstracte tensorproduct

Het Kronecker product van matrices overeen met de abstracte tensorproduct lineaire toepassingen. Specifiek, als de matrices A en B vertegenwoordigen lineaire transformaties V1 V2 → → W1 en W2 respectievelijk dan de matrix AB vertegenwoordigt het tensorproduct twee toepassingen, V1 V2 W2 → W1.

Matrixvergelijkingen

U kunt de Kronecker product gebruiken voor een gemakkelijke weergave van sommige matrix vergelijkingen. Overweeg voor een ogenblik de vergelijking AXB = C, waarbij A, B en C worden gegeven matrices en X is bekend. We kunnen deze vergelijking zo herschrijven

Hieruit volgt uit de eigenschappen van Kronecker product dat AXB = C vergelijking heeft een unieke oplossing als en slechts als A en B zijn inverteerbaar.

Hier vecX wijzend vector omvattende de elementen van de matrix X. In het bijzonder, indien X een matrix m'n ', dan

Geschiedenis

Het Kronecker product is vernoemd naar Leopold Kronecker, ook al is er weinig bewijs dat het was de eerste om te definiëren en te gebruiken. In feite, in het verleden heette het Kronecker matrix product Zehfuss, door Johann Georg Zehfuss.

(0)
(0)
Vorige artikel Diocles van Carystus
Volgende artikel Fender Telecaster Bass

Gerelateerde Artikelen

Commentaren - 0

Geen reacties

Voeg een Commentaar

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Tekens over: 3000
captcha