Genormeerde vectorruimte

In wiskunde een vectorruimte wordt gezegd dat geregeld indien een vector norm worden gedefinieerd. We kunnen wijzen op de volgende feiten die helpen om het belang van het begrip gereglementeerde ruimte te begrijpen:

  • In een Euclidische ruimte, de norm precies samenvalt met vectorlengte.
  • Alle genormeerde vectorruimte is een metrische ruimte met de afstand veroorzaakt door de norm.
  • Als de volledige vector ruimte ook wordt gezegd dat het een Banachruimte zijn.

Definitie

Een vectorruimte V over een veld waarin een absolute waarde is gedefinieerd wordt gezegd te worden geregeld als het een standaard kan worden gedefinieerd, dat wil zeggen, een applicatie die controleert:

  • Geen negativiteit. Voor al zijn standaard positief moet zijn, en zal nul zijn als en slechts als de nul-vector: als y.
  • Homogeniteit. Voor alles en voor alle k ervan overtuigd is dat · waar | | is de modulus of absolute waarde.
  • Driehoeksongelijkheid. En dat alles is waar.

Meestal wordt aangeduid op de genormeerde vectorruimte en wanneer de regel is duidelijk gewoon.

Voorbeelden

Eindig-dimensionale

  • Euclidische ruimten, studeerde klassieke analyse.
  • Vierkante matrices van orde n op:

Oneindig dimensionale

  • Hilbert space vierkante integreerbare functies op een interval met de standaard die door het scalair product.
  • De ruimte van continue functies op een compacte topologische ruimte met de hoogste standaard:

Geïnduceerde Afstand

In ieder genormeerde vectorruimte kunt u de afstand te definiëren:

waarmee een metrische ruimte.

Genormeerde vectorruimten van eindige dimensie

De volgende resultaten werden voldaan:

  • Alle regels gedefinieerd in de ruimte gelijkwaardig zijn, dat wil zeggen dat ze dezelfde topologie te definiëren. De convergentie of divergentie van een serie niet afhankelijk van de gekozen norm. Het resultaat is niet het geval voor oneindig dimensionale ruimtes zijn altijd mogelijk te vinden twee normen zijn niet gelijkwaardig.
  • De ruimte is voltooid, dat wil zeggen, het is een Banachruimte. Hierdoor wordt elke deelruimte van een eindig-dimensionale vectorruimte gesloten.
  • Een genormeerde vectorruimte is eindig-dimensionale als en alleen als de unit bal is compact.
  • Alle lineaire functionele continu. Als de ruimte oneindig dimensionale, zijn er geen continue lineaire functioneel.
  • Heine-Borel Stelling of Borel-Lebesgue stelling. Een subgroep van de vectorruimte is compact dan en slechts als het gesloten en begrensd.

Genormeerde ruimten van oneindige dimensie

In de functionele analyse, theorie van de differentiaalvergelijkingen en kwantummechanica te grijpen, zelfs in oneindig dimensionale genormeerde ruimten, in het bijzonder Banachruimten en Hilbert ruimten. Beide soorten ruimtes zijn metrisch compleet, met alle triviaal Hilbert ruimte is ook een Banachruimte.

Banachruimten worden op grote schaal gebruikt om de evolutie van vergelijkingen met gewone differentiaalvergelijkingen bespreken.

(0)
(0)
Vorige artikel Cinctorres
Volgende artikel Bicci di Lorenzo

Gerelateerde Artikelen

Commentaren - 0

Geen reacties

Voeg een Commentaar

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Tekens over: 3000
captcha