Eerste-orde logica

De eerste-orde logica, ook wel predikaat logica of predikaat calculus is een formeel systeem ontworpen om de gevolgtrekking in eerste orde talen studeren. De eerste orde talen zijn beurt met formele taal quantoren bereiken slechts afzonderlijke variabelen en predikaten en functies waarvan argumenten alleen constanten of afzonderlijke variabelen.

De eerste-orde logica heeft voldoende expressieve kracht om vrijwel alle wiskunde definiëren.

Introductie

Als de historische ontwikkeling en toepassingen van de eerste orde logica nauw verbonden zijn aan de wiskunde, wat volgt zal een inleiding die bestaat en illustreert deze relatie, met voorbeelden van zowel de wiskunde en natuurlijke taal zijn. Eerst geïntroduceerd elk van de grondbeginselen van het systeem, en dan laat zien hoe ze te gebruiken om argumenten te analyseren.

Predikaten

Een predikaat is een taaluiting die kan worden verbonden met één of meer andere uitingen om een ​​zin te vormen. Bijvoorbeeld, in de zin "Mars is een planeet", de uitdrukking "planeet" is een predikaat dat verbonden is met het woord "Mars" naar een zin te vormen. En in het gebed "Jupiter is groter dan Mars uitdrukking 'groter dan' is een predicaat dat twee uitdrukkingen met elkaar verbindt," Jupiter "en" Mars "om een ​​zin te vormen.

In mathematische logica, wanneer een predikaat is verbonden met een expressie wordt gezegd dat een eigenschap uitdrukken, en wanneer verbonden met twee of meer expressies worden gezegd dat een relatie drukken. Echter, de eerste-orde logica maakt geen veronderstellingen over de vraag of er eigenschappen of relaties. Het gaat alleen met het bestuderen van de manier waarop we praten en reden met taaluitingen.

In eerste-orde logica, worden predikaten behandeld als functies. Een functie is, figuurlijk gesproken, een machine die een set van dingen ontvangt, verwerkt ze en geeft resultaten in één ding. De dingen die om functies te komen zijn argumenten genoemd, en de dingen gaan, waarden of afbeeldingen. Denk bijvoorbeeld aan de volgende wiskundige functie:

Deze functie neemt als argumenten en keert nummers meer nummers als waarden. Bijvoorbeeld, als je de nummer 1 te nemen, geeft het nummer 2 en als je de 5 te nemen, geeft de 10. De eerste-orde logica, wordt voorgesteld predikaten behandelen als functies niet alleen getallen als argumenten, maar uitdrukkingen als "Mars", "Mercury" en anderen die later zullen worden besproken. Zo is de zin "Mars is een planeet" kan worden overgeschreven naar aanleiding van de eigen notatie van functies, als volgt:

Of, in het kort:

Daarnaast zijn er wiskundige functies die meerdere argumenten nemen. Bijvoorbeeld:

Deze functie, als u de nummers 1 en 2 nemen, geeft het nummer 3 en als je de -5 en -3, -8 terug te nemen. Na deze gedachte, de eerste-orde logica behandelt predikaten express relaties en functies die twee of meer argumenten nemen. Bijvoorbeeld, de zin "Kaïn doodde Abel" kan als volgt worden geformaliseerd:

Of verkorten:

Deze procedure kan worden uitgebreid om te gaan met predikaten die relaties tussen verschillende entiteiten tot expressie. Bijvoorbeeld, de zin "Ana zit tussen Bruno en Carlos 'kunnen worden geformaliseerd:

Individuele constanten

Een constante individu een taaluiting die verwijst naar een entiteit. Bijvoorbeeld, "Mars", "Jupiter," "Cain" en "Abel" constanten individu. Dus zijn de termen "1", "2", enz., Verwijzend naar nummers. Een entiteit bestaat niet, zodat u kunt praten over, zodat de eerste-orde logica maakt geen veronderstellingen over het bestaan ​​van de entiteiten die hun individuele constanten betrekking hebben.

Afzonderlijke variabelen

Naast de individuele constanten die verwijzen naar bepaalde entiteiten, de eerste-orde logica heeft andere uitdrukkingen, variabelen, waarvan de referentie wordt gegeven. Zijn functie is vergelijkbaar met die van natuurlijke taal uitdrukkingen als "hij", "zij", "het", "die" en "dat" waarvan de referent varieert met de context. De variabelen worden in het algemeen voorgesteld door kleine letters aan het einde van het Latijnse alfabet, voornamelijk x, y en z. Ook in de wiskunde, in de Fx = 2x functie vertegenwoordigt geen bepaald nummer, maar het is zoiets als een lege ruimte waar verschillende nummers kunnen worden ingebracht. Concluderend kunnen we een uitdrukking vertegenwoordigen deze als 'oud' met de uitdrukking:

Of in het kort:

Het is echter duidelijk dat totdat is vastgesteld wat betreft de x, kunt u geen waarheidswaarde dezelfde wijze toewijzen aan de uitdrukking "dit oude ', totdat een aantal van x niet worden vastgesteld f = 2x wordt de functie niet mogelijk om een ​​waarde voor de functie te berekenen.

Natuurlijk, zoals met individuele constanten, variabelen dienen ook om relaties formaliseren. Bijvoorbeeld, de zin "Dit is groter dan dat," het is geformaliseerd:

Y kan ook worden gecombineerd met individuele variabelen constant. Bijvoorbeeld in de zin "ze zit tussen Bruno en Carlos '

Kwantoren

Nu de volgende wiskundige uitdrukking:

Deze uitdrukking is waar noch onwaar, en het lijkt erop dat zal niet tot u het naar een willekeurig aantal x te vervangen door één. Het is echter ook mogelijk een waarheidswaarde geven aan de expressie als deze vooraf aan een quantifier. Een kwantor is een uitdrukking die zegt dat een voorwaarde is voldaan voor een aantal individuen. In klassieke logica, de twee meest bestudeerde kwantoren zijn universeel quantifier en existentiële kwantor. De eerste mogen voorwaarde is voldaan voor alle personen die praten en de tweede waar is voor ten minste één van de individuen. Bijvoorbeeld, de uitdrukking "voor alle x" is een universele kwantor, die voorvoegsel "x & lt; 3" produceert:

Dit is een uitdrukking van de werkelijke waarde, in het bijzonder een onjuiste expressie, omdat er veel getallen die groter is dan drie. In plaats zetten de woorden "ten minste één x ', een existentiële kwantor, verkrijgen we:

Die blijkt een ware uitdrukking te zijn.

Let op nu, echter, dat de waarheid waarde van de vorige twee uitdrukkingen hangt af van wat nummers je praat. Indien als we zeggen "voor alle x, x & lt; 3 ', dat spreekt alleen negatieve getallen, bijvoorbeeld, dan is de bewering waar. En als om te zeggen "voor ten minste één x, x & lt; 3" wordt alleen over de nummers 3, 4 en 5, dan is de verklaring vals is. In de logica, dat wat er wordt gesproken over wanneer een kwantor wordt gebruikt, wordt het genoemd het domein van discours.

Deze machine kan eenvoudig worden aangepast aan zinnen met natuurlijke taal kwantoren formaliseren. Neem bijvoorbeeld de uitspraak "alles zijn vriendelijk." Deze zin kan worden vertaald:

En een zin als "iemand liegt" vertaald kan worden:

Het is ook gebruikelijk om deze laatste zin aldus vertalen:

De volgende twee zinnen worden geformaliseerd, terwijl de invoering van speciale notatie voor kwantoren:

Connective

De eerste-orde logica ook bindweefsel van propositielogica. Het combineren met verbindende predikaten, constanten, variabelen en kwantoren, is het mogelijk om zinnen te formaliseren als volgt uit:

Argumenten

Beschouw de volgende klassieke argument:

  • Alle mensen zijn sterfelijk.
  • Socrates is een mens.
  • Dus Socrates is sterfelijk.

De taak van de eerste orde logica te bepalen waarom de argumenten zoals deze gelden. Daarvoor wordt eerst te vertalen in een nauwkeuriger taal die kan worden geanalyseerd door formele methoden. Zoals hierboven te zien, de formalisering van dit argument:

  • ∀x
  • Hs
  • Ms ∴

Formeel systeem

Dan is een formele taal, Q, wordt gedefinieerd en vervolgens axioma's en afleidingsregels van de taal resulterende SQ gedefinieerd logisch systeem.

Syntaxis

De formele taal alfabet Q bestaat uit de volgende symbolen:

Uit deze symbolen worden de volgende begrippen omschreven:

Een naam wordt gevolgd door een of meer citaten. Bijvoorbeeld, een "een" en een "'' 'zijn namen. Voor de leesbaarheid vaak weglaten de aanhalingstekens en verschillende letters gebruikt aan het begin van het Latijnse alfabet, met of zonder subscript verschillende namen onderscheiden: a, b, c, d, e, A1, A3, C9 etc.

Een variabele x wordt gevolgd door een of meer citaten. Bijvoorbeeld, x, x 'en x' '' 'zijn variabelen. Voor de leesbaarheid vaak weglaten de aanhalingstekens en verschillende letters gebruiken bij het einde van het Latijnse alfabet, met of zonder subscript verschillende variabelen onderscheiden: x, y, z, x1, x3, z9, etc.

Een functor is een f gevolgd door één of meer sterretjes, dan één of meer citaten. Bijvoorbeeld, f *, f ** '' f **** 'ze zijn functoren. Het aantal sterretjes geeft de functor ariteit. Voor de leesbaarheid, het vaak weglaten sterretjes en aanhalingstekens en maken gebruik van verschillende letters van het Latijnse alfabet in de buurt van de f, met of zonder indices verschillende functors onderscheiden: f, g, h, f1, f3, h9, etc.

Een predikaat is een P gevolgd door één of meer sterretjes, dan één of meer citaten. Bijvoorbeeld, P * '** P' en P **** 'zijn predikaten. Het aantal sterretjes geeft de ariteit van het predikaat. Voor de leesbaarheid, het vaak weglaten sterretjes en aanhalingstekens en maken gebruik van verschillende hoofdletters langs het Latijnse alfabet om verschillende predikaten onderscheiden: P, A, B, C, S, T, etc.

Het begrip term wordt recursief gedefinieerd door de volgende bepalingen:

  • Alle namen zijn termen.
  • Alle variabelen zijn termen.
  • Als F een functor ariteit n ≥ 1 en T1, ..., tn zijn termen, dan is f is een term.
  • Niets anders is een term.

Door deze definitie, de volgende strings zijn termen:

En in plaats daarvan de volgende strings zijn niet termen:

Het begrip goed gevormde formule Q wordt gedefinieerd door de volgende bepalingen:

  • Indien P een predikaat ariteit n ≥ 1 en t1, ..., tn zijn termen, dan is P een goed gevormd formule.
  • Als A een goed gevormd formule, dan ¬A te.
  • Als A en B zijn goed gevormde formules, dan ,, en zijn dus.
  • Als A een goed gevormd formule en x een variabele, dan ∃x ∀x A en A zijn goed gevormde formules.
  • Niets anders is een goed gevormde formule.

Volgens deze definitie zijn de volgende strings zijn goed gevormde formules:

En in plaats daarvan de volgende strings zijn niet goed gevormd formules:

Voor bepaalde predikaten schaal gebruikt, kunnen standaard notatie in de vorm Rb plaats van R. Zo schrijven we 2 & gt; 1 in plaats van & gt; en 4 = 4 in plaats van =. Evenzo, als f een functor ariteit twee, soms schrijf u in plaats van f AFB. Bijvoorbeeld, 1 + 2 wordt geschreven in plaats van +.

Opmerkingen

  • De identiteit symbool soms gerekend primitieve alfabet symbolen en syntactisch gedraagt ​​zich als een binaire predikaat. Om een ​​eerste orde logica die bestaat uit het symbool van de identiteit wordt genoemd precies eerste-orde logica met identiteit.
  • Namen kunnen worden gedefinieerd als functors van ariteit 0, zodat het mogelijk is om weg te laten uit de primitieve symbolen.
  • In de bovenstaande definitie vereist dat de predikaten groter dan of gelijk aan 1. Het is mogelijk ariteit predikaten laten ariteit 0, aangezien ze als propositie variabelen propositielogica.
  • U kunt het aantal primitieve symbolen te verminderen met slechts negen te blijven: x f P * '↓ ∀
  • Er zijn verschillende conventies over waar haakjes zetten. Bijvoorbeeld, sommige schrijven dan Vx. Soms twee punten of een punt worden gebruikt in plaats van haakjes om formules disambiguate. Een interessante maar ongebruikelijke aantekening Poolse notatie is waar alle haakjes worden genegeerd en ∧, ∨, voordat de schriftelijke argumenten in plaats van tussen hen. Poolse notatie is compact maar zelden voor zijn moeilijk te worden gelezen door mensen.
  • Een technisch constatering is dat als een functie symbool van ariteit 2 toont de bestelde paar hoeft niet functies en predikaten van ariteit groter dan 2.
  • Meestal beschouwd als de set van constanten, functies en relaties vormen een taal, terwijl variabelen, logische operatoren en kwantoren worden beschouwd als behorend tot de logica. Bijvoorbeeld, de taal van de groep theorie bestaat uit een constante, een functie van ariteit 1, een functie van ariteit 2 en een verhouding van ariteit 2 ging auteurs waaronder gelijkheid in de onderliggende logica.

Gratis vervanging variabelen

De noties van vrije en gebonden variabele Variabele ingevoerd om een ​​mogelijke fout in het proces van substitutie te voorkomen. Veronderstel even de formule. Intuïtief deze formule stelt dat voor alle x, x is kleiner dan of gelijk aan y. In deze formule, en is vrij variabel, zodat het niet onder het toepassingsgebied van elke quantifier. Als we vervangen andere term t, dan is de formule dat t maximaal is. Maar stel nu dat we vervangen x ay hetzelfde. In dat geval, en wordt het verbonden door een universele karakter, omdat de nieuwe formule:. Maar deze formule niet zeggen dat een maximale looptijd is, maar iets heel anders. Om een ​​dergelijke verplaatsing van betekenis te voorkomen, hebben we het erover eens dat een vrije variabele vervangen door een termijn te voorkomen dat de vrije variabelen in de nieuwe term gebonden blijven door een kwantor. Dat wil zeggen, vrij blijft.

Aangegeven algemeen, als t een term en een formule misschien x met een vrij variabel, dan is het resultaat van het vervangen van alle vrije voorkomens van x door t, aangenomen dat geen vrije variabele t wordt gebonden in dit proces. Als sommige vrije variabele t weer wordt gekoppeld, dan naar t te vervangen door x je nodig hebt om de namen van andere variabelen die niet overeenkomen met de vrije variabelen van t te veranderen.

Identiteit

Er zijn verschillende manieren om het begrip identiteit eerste orde logica voeren, maar met in wezen dezelfde nadelen. Deze sectie geeft een overzicht van de belangrijkste:

  • De meest voorkomende manier om de identiteit te introduceren is ook onder primitieve symbool en het toevoegen van axioma dat het gedrag van de zelfde definiëren. Deze zijn:
  • Een andere manier is om de identiteit als een symbool van de relatie tussen de theorie te nemen en voeg de axioma's van de identiteit theorie. In de praktijk is dit verdrag is bijna niet te onderscheiden van de vorige, behalve in het geval van ongewone theorieën zonder notie van identiteit. De axioma's zijn hetzelfde. Het enige verschil is dat sommige logische axioma's en andere axioma's van de theorie genoemd.
  • In theorieën zonder functies en een eindig aantal relaties, kun je identiteit in termen van relaties definiëren. Dit wordt gedaan door twee termen en b gelijk zijn als en slechts als enige relatie is veranderd door het vervangen b in een argument. Bijvoorbeeld, in set theorie met een relatie van verbondenheid, definiëren we a = b als afkorting voor ∀x ∧. Deze definitie van de identiteit voldoet automatisch de axioma's van identiteit.
  • In sommige theorieën is het mogelijk om definities ad hoc identiteit. Bijvoorbeeld, in een theorie van partiële orders in een verhouding van minder dan of gelijk we zouden a = b gedefinieerd als afkorting van ∧.

Inference regels

De eerste-orde logica heeft twee regels van gevolgtrekking. De eerste is de modus ponens, geërfd van propositielogica. De tweede regel van universele generalisatie, die karakteristiek is voor de eerste-orde logica. Het zegt:

Of notatie sequent berekening:

Dat wil zeggen, aangezien het mogelijk is dat Vx A. sluiten

Merk op dat de regel van universele generalisatie is analoog aan de regel necessitation van modale logica.

Axioma

De axioma's hier beschouwd als zijn logische axioma's die deel uitmaken van het predikaat calculus zijn. Door het formaliseren van theorieën eerste speciale bestelling specifieke niet-logische axioma's worden toegevoegd, dat wordt niet beschouwd als axioma's van de logica waarheden, maar waarheden van een bepaalde theorie.

Wanneer de set van axioma's is oneindig, het vereist een algoritme dat kan bepalen voor een goed gevormde formule als het een axioma of niet. Bovendien moet een algoritme dat kan bepalen of de toepassing van een afleidingsregel juist is.

Belangrijker predikaat calculus kunnen worden axiomatized op verschillende manieren. Er is niets canonieke over de regels axioma's en gevolgtrekking hier gegeven, maar elke formalisering produceert dezelfde stellingen van de logica.

De volgende drie zijn geërfd axioma's van de propositielogica en opgenomen in de eerste-orde logica. Laat A, B en C gevormd formules Q. Dan zijn de volgende logische axioma's:

De volgende twee axioma's zijn kenmerkend voor de eerste-orde logica. Laat A en B welgevormde Q formules met maximaal één vrije variabele, x. Laat t zijn een gesloten einde en het resultaat van het vervangen van elke voorkomen van x in A door t. Vervolgens worden de volgende logische axioma's:

Intuïtief, de vierde axioma zegt dat wat waar is voor alle aan iedereen. Bijvoorbeeld, zou een bijzonder geval van het axioma zijn: "Als al sterfelijk zijn, dan is Abel is sterfelijk"; of: "Als al sterfelijk zijn, dan is de vader van Matthew is sterfelijk" De vijfde axioma is analoog aan K axioma van modale logica, en een bijzonder geval zou hetzelfde zijn: 'Als alle mensen sterfelijk zijn, dan, als alle mensen zijn, ze zijn allemaal sterfelijk. "

Semantiek

Een interpretatie is een paar & lt; D, I & gt;, waarbij D een niet-lege verzameling heet het domein van discours en ik is een functie genaamd interpretatie functie als volgt gedefinieerd:

  • Als het een naam toegewezen dan I een element van het domein.
  • Als f een functor ariteit n dan een functie van n argumenten die elementen van het domein en het domein rendement leent toegewezen I.
  • Als P is een predikaat van ariteit n, dan toegewezen ik een verzameling van n-tupels opgebouwd uit het domein.

Dan kunt u de notie van de waarheid voor een interpretatie te definiëren:

  • P geldt voor de interpretatie M als en slechts als de n-tupel bestaande interpretaties t1, ..., tn een element interpretatie van P.
  • ¬A geldt voor de interpretatie M als en slechts als een vals onder die interpretatie.
  •  Het is waar voor de interpretatie M als en slechts als A waar is en B is juist onder deze interpretatie.
  •  Weliswaar voor de interpretatie M als en slechts als een waar of B geldt onder deze interpretatie.
  •  Het is waar voor de interpretatie M als en slechts als een vals of B is juist onder deze interpretatie.
  •  Het is waar voor de interpretatie M als en slechts als A en B zijn beide waar of beide onwaar onder die interpretatie.

Om echt definities voor de formules A of vormen ∀x ∃x A, eerste enkele voorlopige definities nodig zijn: Laat A het resultaat van het vervangen van elke voorkomen van x in A door een naam zijn. Ook als M en M 'zijn interpretaties en een naam dan M' is een variant M iff M 'is gelijk aan M en verschilt slechts in het element van het domeinnaamsysteem toegewezen.

  • Een Vx geldt voor M als en slechts als A geldt voor een variant van M.
  • ∃x A geldt voor M als en slechts als A geldt voor ten minste één a-variant M.

Een formule is vals onder een interpretatie als en alleen als het niet waar is onder deze interpretatie.

Hieruit kan worden gedefinieerd aantal andere semantische begrippen:

  • Een formule is een logische waarheid als en slechts als het waar is voor een interpretatie.
  • Een formule is een contradictie IFF is vals om een ​​interpretatie.
  • Een consistent is als en slechts als er ten minste één interpretatie die het waar maakt.
  • Een formule A is een semantisch gevolg van een stel formules als en alleen als er geen die rekening waar en onwaar formules A. Als A een resultaat van een semantische talen Q wordt geschreven:
  • Een formule is logisch geldig als en alleen als het een semantische gevolg van de lege verzameling. Wanneer A is een logisch geldige formule een Q taal, schrijft u:

Metalogic

De eerste-orde logica is een van de best bekende softwaresystemen met eigenschappen metalogical. Daarna worden ze heeft enkele van de meest belangrijke.

Volledigheid

De Gödel volledigheid theorema aangetoond door Kurt Gödel in 1929, stelt dat de eerste orde systemen bestaan ​​in alle logisch geldige formules zijn aantoonbaar. Dit betekent dat bij een eerste-orde taal Q, kunt u een aantal formules als axioma's, en enkele gevolgtrekking regels te selecteren, zodat alle logisch geldige formules zijn bewijsbaar vanuit de axioma's en regels van gevolgtrekking. Een voorbeeld van axioma's en afleidingsregels die toelaten blijken volledigheid zijn zoals hierboven in dit artikel.

Beslisbaarheid

Een systeem beslisbaar wanneer er ten minste een effectieve methode om te bepalen of een formule elke taal systeem is logisch geldig is of niet. Bijvoorbeeld, propositielogica, evaluatie van formules die waarheidstafels is een effectieve methode om te bepalen of een formule logisch geldig beide. In die zin is de eerste-orde logica is onbeslisbaar, mits je minstens een predikaat van ariteit 2 of meer. Dit resultaat was onafhankelijk van Alonzo Church in 1936 door Alan Turing in 1937 bereikt, waardoor een negatieve reactie op Entscheidungsproblem gesteld door David Hilbert in 1928. Bovendien is de logica van de eerste monadische Orde is beslisbaar, zoals blijkt Leopold Löwenheim in 1915.

De Löwenheim-Skolem theorema

De Löwenheim-Skolem theorema stelt dat als een telbare eerste-orde theorie heeft een oneindig model, dan voor een kardinaal getal K, de theorie heeft een model van belangrijkheid K.

In dit verband, een eerste-orde theorie is gewoon een stel formules in eerste orde taal. Een theorie telbaar als hun formules in één relatie kan worden gebracht met een deelverzameling van de natuurlijke getallen. En een theorie heeft een infinte model als u ten minste één domein met een oneindige interpretatie maakt het allemaal waar formules van de theorie. Wat de Löwenheim-Skolem stelling zegt, dan is dat als een theorie is een interpretatie van een oneindige domein maakt trouw aan alle formules van de theorie, dan heeft het ook interpretaties van elke cardinaliteit domeinen die echte all maken theorie formules.

Dit betekent dat de eerste-orde logica niet in staat zijn het controleren van hun oneindige cardinaliteit modellen: indien een theorie oneindig model dan ook modellen van oneindige kardinaliteiten. Een gevolg hiervan is dat bijvoorbeeld Peano rekenkunde, een eerste-orde theorie, wordt niet alleen gemodelleerd de verzameling van natuurlijke getallen, maar ook alle andere reële en oneindige reeksen cardinaliteit grotere aantallen.

De compactheid stelling

De compactheid theorema stelt dat een reeks van formules van de eerste orde heeft een model dan en slechts dan als elke eindige deelverzameling van de set heeft een model. Dit houdt in dat als een formule is een logisch gevolg van een oneindige reeks axioma's, dan is het een logisch gevolg van een aantal eindige deelverzameling van hen.

De stelling werd eerst aangetoond door Kurt Gödel als gevolg van de volledigheid stelling, maar uiteindelijk vond verscheidene andere manifestaties. De stelling is een centraal instrument in model theorie, omdat het een sleutel tot het model methode.

Lindström theorema

Lindström de stelling dat de eerste-orde logica is de sterkste logisch systeem dat de compactheid stelling en de neerwaartse Löwenheim-Skolem stelling voldoet. Dit betekent dat de uitvoering van deze twee stellingen karakteriseren van de eerste-orde logica. Aangetoond werd door Per Lindström, die ook het soort abstracte logische systemen kunnen vergelijken tussen systemen gedefinieerd.

Geschiedenis

Waar de oorsprong van de eerste-orde logica vinden hangt af van wat je bedoelt met de eerste orde logica. Als enig logisch systeem rond kwantificering dan individuen, dan is de eerste-orde logica is zo oud als de logica en de oorsprong teruggaat tot Aristoteles Organon. Aristoteles maakte veel reacties en bijdragen over het gedrag van kwantoren "all", "wat", "nee", etc. Hij construeerde, bijvoorbeeld, het beroemde plein van de oppositie, en bood een invloedrijke classificatie voor verschillende proeven kwantoren.

Echter, als eerste-orde logica is duidelijk een soortgelijke discussie in dit artikel, dan is de oorsprong van de eerste-orde logica om alleen gevonden worden in de negentiende eeuw, in het werk van Gottlob Frege's logisch systeem. In 1879 publiceerde hij zijn concept Script Frege, waar hij presenteerde het eerste systeem van predikaat logica als we begrijpen het vandaag. Vervolgens verfijnen een 1893 werk getiteld De grondbeginselen van de rekenkunde. Echter, Frege's notatie was moeilijk te begrijpen, en zijn revolutionaire bijdragen onbekend bleef voor meerdere jaren.

Tussen 1910 en 1913, Bertrand Russell en Alfred North Whitehead gepubliceerd Principia Mathematica, een monumentaal werk direct beïnvloed door het werk van Frege. Met dit predikaat logica in het algemeen, en de eerste-orde logica in het bijzonder, namen ze op een meer vertrouwde vorm, het bereiken van een breder publiek.

Na Principia Mathematica begon een vruchtbare periode van metalogical resultaten voor eerste-orde logica. In 1915, Leopold Löwenheim toonde consistentie, semantische volledigheid en beslisbaarheid van monadische eerste-orde logica. In 1928, David Hilbert en Wilhelm Ackermann aangetoond dat de samenhang van de eerste-orde logica. In 1929, Kurt Gödel bewees het semantische volledigheid van eerste-orde logica. En in 1936, Alonzo Church en Alan Turing toonde, onafhankelijk, onbeslisbaarheid vande eerste-orde logica.

In 1933, Alfred Tarski opende een nieuw hoofdstuk in de geschiedenis van de eerste-orde logica, met de publicatie van de definities van de waarheid voor formele talen. Ze mogen het ontstaan ​​van de theorie van modellen. In zijn werk, Tarski gaf een definitie van de waarheid voor de taal van de eerste-orde logica die nog steeds wordt gebruikt. Deze definitie mag demonstraties verfijnen semantische consistentie en volledigheid voor de eerste-orde logica.

In 1934-1935, Gerhard Gentzen gepubliceerd onderzoek op logische gevolgtrekking, die een alternatief voorgesteld aan de axiomatische opbouw van logische systemen, bekend als natuurlijke deductie. Het Gentzen snel ontwikkelen natuurlijke deductie tot de sequent berekening, en het bewijs van de stelling van de snede-eliminatie, op voorwaarde dat een nieuwe benadering van de theorie van de show.

(0)
(0)
Vorige artikel Ferula communis
Volgende artikel Aleuritopteris

Commentaren - 0

Geen reacties

Voeg een Commentaar

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Tekens over: 3000
captcha