Discrete logaritme

In abstracte algebra, bekend als discrete logaritme van G gebaseerd en Gey elementen van een eindige cyclische groep G aan de oplossing van de vergelijking x = y g. Dit kan mathematisch worden weergegeven als:

Discrete logaritmen zijn vergelijkbaar in groep theorie gewone logaritmen analyse. Tijdens het berekenen van de inverse discrete machtsverheffing is een eenvoudige taak in de numerieke termen, het berekenen van de discrete logaritme is niet zo eenvoudig. Het feit modulaire rekenkunde van toepassing maakt het probleem van het vinden x "onoplosbaar" in een redelijke tijd, zo gebruikt, net als andere problemen met de inefficiënte algoritmen in cryptografie, de belangrijkste methode uitwisseling Diffie-Hellman of in het systeem van ElGamal.

Voorbeeld

Discrete logaritmen zijn misschien makkelijker te begrijpen in de groep. Dit is de belangrijkste p De elementen zijn de congruentie klasse module pj productgroep module multiplicatieve groep twee elementen wordt bereikt door integer vermenigvuldiging gevolgd door reductie modulo p.

De exponentiële k een van de nummers in deze groep kan worden berekend vinden de k exponentieel als geheel en de rest na deling verkregen p. Dit proces wordt modulo machtsverheffing. Bijvoorbeeld, overwegen om te overwegen 3 in deze groep, de eerste schatting 3 = 81 en 81 verdeeld over 17 andere het verkrijgen van 13. Dit is 3 = 13 in de groep.

De discrete logaritme is de inverse bewerking. Bijvoorbeeld, gezien Vergelijking 3 ≡ 13 voor k. Uit het bovenstaande voorbeeld een oplossing k = 4, maar dit is niet de enige oplossing. Sinds maart ≡ 1 zoals aangegeven door kleine stelling van Fermat volgt dat wanneer n een geheel getal is, dan ≡ 3 x 3 x 1 ≡ 13 ≡ 13. Derhalve de vergelijking oneindige oplossingen van de vorm 4 + 16n. Bovendien 16 is het kleinste positieve getal dat 3 m ≡ 1 blijkt, dat wil zeggen 16 in de orde van 3, dit de enige oplossing. Equivalent, kan de verzameling van alle mogelijke oplossingen door de beperking k ≡ 4 worden uitgedrukt.

Definitie

De formele definitie is als volgt:

Er is een eindige cyclische groep van orde n met n elementen en waarbij · is de vermenigvuldiging operator, dat wil zeggen G = {e, g, g, ..., g} groep. Aangezien het cyclisch, die een generator g is bekend dat voor een behorend tot G is een k die tot Z zodanig dat a = g of officieel geschreven als:

Zo gedefinieerd

de functie die waarden als volgt toegewezen:

Properties

Enkele eigenschappen van deze opdracht:

Hier volgt de formule van de huidige rebasen continue logaritmen wanneer c is een generator:

Algoritmen

Geen klassieke algoritmen voor de berekening van een discrete algoritme bekend logb g. Een algoritme is ba verhogen opeenvolgende bevoegdheden tot het gewenste k g. Dit algoritme vereist lineaire tijdcomplexiteit ten opzichte van de omvang van de groep G en dus exponentieel het aantal cijfers in de groepsgrootte. Een quantum efficiency omdat Peter Shor algoritme.

Er zijn meer geavanceerde algoritmen, meestal geïnspireerd door soortgelijke algoritmen voor integer factorisatie. Deze algoritmen werken sneller dan de vorige algoritme. Sommigen in lineaire tijd ten opzichte van de vierkantswortel van de grootte van de groep en dus exponentieel met betrekking tot de helft van het aantal cijfers van de groepsgrootte. Echter, niemand loopt in polynomiale tijd.

  • Kinderoppas stap gigantische stap
  • Pollard algoritme voor logaritmes
  • algoritme Pollard's kangoeroe
  • Pohlig-Hellman algoritme
  • index berekeningsalgoritme
  • Algemene nummer veld zeef
  • Functie veld zeef

Vergelijking met integer factorisatie

Hoewel het probleem van het berekenen van discrete logaritmen en het probleem van integer factorisatie problemen verschillend, hebben zij een aantal eigenschappen:

  • beide problemen zijn moeilijk
  • efficiënte algoritmen voor beide problemen zijn in quantum computers,
  • algoritmen voor een probleem dikwijls passen andere, en
  • de moeilijkheid van beide problemen is gebruikt om verschillende cryptografische systemen te construeren.

Cryptografie

Er zijn groepen waarvoor berekenen discrete logaritmes is blijkbaar moeilijk. In sommige gevallen (bijvoorbeeld subgroep van een grote priemorde groep) er geen bekende efficiënt algoritme voor de moeilijkste geval en complexiteit van het gemiddelde geval zo moeilijk in het ergste geval.

Tegelijkertijd, het inverse probleem van discrete exponentiëring is niet moeilijk. Deze asymmetrie is analoog aan die welke optreedt tussen de factorisatie van getallen en integer vermenigvuldigen. Beide asymmetrieën hebben in de constructie van cryptografische systemen benut.

Populaire keuzes voor groep G in de cryptografie met discrete logaritmes zijn cyclische groepen en cyclische subgroepen van elliptische krommen over eindige velden.

(0)
(0)
Vorige artikel Lou Roe
Volgende artikel Organosiliciumverbinding

Commentaren - 0

Geen reacties

Voeg een Commentaar

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Tekens over: 3000
captcha