Dedekindsnede

Dedekind bezuinigingen zijn sets van rationale getallen die de eerste formele aanleg van de verzameling van reële getallen. Met het uiterlijk van de historische probleem van de stichting Wiskundige Analyse sluit.

Cortes en rationeel bezuinigingen.

Een set is een dedekindsnede als de volgende eigenschappen:

  • .
  • .
  • Indien en dan.
  •  geen laatste element, dat wil zeggen zodanig dat er voor elk.

De set

Als we een willekeurig rationeel nummer, dan zal de rechter worden rationele snijden genoemd.

Het is duidelijk dat elk rationeel getal correspondeert met een cut slechts één rationele. We kunnen een injectieve applicatie rationeel rationeel nummer je associeert de rechter dus vast te stellen.

Een cut is rationeel als en slechts als er wordt gesneden zodat.

Bestel relatie.

Definition.

Gegeven twee bezuinigingen en zeggen dat als en slechts als gelijkwaardig aan.

In de verzameling van reële getallen, het is een orde relatie, dat is totale bestelling, maar het is niet goed in orde.

Positief, negatief, nul.

We noemen nul rationele snijden.

We zeggen dat een snede is een positief getal als.

We zeggen dat een snede is een negatief getal als.

We zeggen dat een snede is strikt positief of negatief, zo niet.

We zeggen dat een cut strikt negatief of positief als.

Som en product.

Suma.

Gegeven twee willekeurige bezuinigingen en definieer hun som als geheel. het is een bezuiniging, die een interne operatie + op de set van reële getallen, operatie genaamd som vertegenwoordigt.

De som geeft de verzameling van reële getallen Abelse groepsstructuur, dat wil zeggen, in de associatieve eigenschappen, commutatieve, neutraal element en het bestaan ​​van het bestaan ​​voor elk gedeelte van een symmetrische element worden geverifieerd.

Bovendien wordt de verenigbaarheid van de som aan de orde, dat wil zeggen indien en gesneden en vervolgens ongeacht de rechter ervan overtuigd dat.

Tenslotte, de som is een uitbreiding van het totaal, dat wil zeggen als dan.

Product.

Het product snede is niet zo gemakkelijk te definiëren als de som en moet door cases.

Sean en twee sneden:

  • En als we definiëren de set. Dan wordt gesneden en het is.
  • En als we definiëren de set. Dit wordt gesneden en het is.
  • En als we definiëren de set. Met uitgesneden en het is.
  • En als we definiëren de set. Dat wordt geverifieerd en het wordt gesneden.
  • Of we definiëren de set.

In elk geval is een snede, dat een inwendige bewerking op de reeks reële getallen die we product bediening noemen.

Het product voldoet aan de commutatieve, associatieve eigenschappen, is er een neutraal element voor het product, en zo niet nul is gesneden, dan is er symmetrisch element van het gesneden product, genaamd de inverse van en gedefinieerd als en wanneer. Met deze eigenschappen, is het uitgerust met Abelian structuur groep.

Als testen dan is dat ook niet.

Het product is distributieve voorbij toevoeging. Heeft dus carrosseriestructuur.

Het product is compatibel met de volgorde van de positieve reële: indien en zijn bezuinigingen en daarna.

De uitbreiding product is het product: als dan.

Belangrijkste eigenschappen.

De verzameling van reële getallen heeft bepaalde eigenschappen die bijzonder gemakkelijk aan te tonen met behulp van Dedekind bezuinigingen, zoals:

  • Het is een totaal gesorteerde veld.
  • De set van rationele nummers is isomorphically opgenomen.
  • In het begin van de hoge tevreden, dat wil zeggen, alle niet-lege set die hierboven wordt begrensd heeft verheven. Als onmiddellijk gevolg, elk begrensd inferieur ingesteld hebben verwaarlozen.

U kunt bewijzen dat de verzameling van reële getallen is de enige met deze eigenschappen, dat wil zeggen, als het een nette lichaam, dat het hoogste principe controleert, dan is het isomorf aan. In dat geval zegt dat het een systeem van reële getallen.

Overige eigenschappen

  •  Het is niet boven in begrensd.
  •  Archimedische wordt: gegeven twee elementen, willekeurig, er een natuurlijk getal zodat.
  • Tussen twee verschillende reële getallen er altijd oneindig reële getallen.
  • Gezien het feit dat elke geverifieerd.
(0)
(0)
Vorige artikel KERIS
Volgende artikel Girolamo Frescobaldi

Gerelateerde Artikelen

Commentaren - 0

Geen reacties

Voeg een Commentaar

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Tekens over: 3000
captcha