Continu differentieerbare functie

In wiskundige analyse, een klasse is een differentieerbare functie indeling op basis van de eigenschappen ervan. Hogere klassen teneinde differentiële overeen met het bestaan ​​van meer derivaten. Functies die derivaten van alle bestellingen worden oneindig continu genoemd, dat wil zeggen heeft continue partiële afgeleiden van elke eindige orde.

  • Een functie is een klasse C als de partiële afgeleiden continu. Deze functies worden genoemd continu differentieerbaar.
  • Een functie is klasse C, met n ≥ 1 en constant, indien de partiële afgeleiden van orde n continu. Deze functies worden genoemd eindige differentiable.
  • Een functie wordt continu differentieerbaar als klasse C voor alle n, of wat hetzelfde is genoemd, is het klasse C.

Bijvoorbeeld, de exponentiële functies zijn uiteraard continu differentieerbare functies omdat zijn derivaten altijd continu.

Differentiable Class

Overweeg een open set op de echte lijn en een functie f gedefinieerd op de set met de werkelijke waarden. Het is een niet-negatieve integer k. De functie is van klasse C als de afgeleide f 'f', ..., f bestaan ​​en continu. De functie f wordt gezegd van klasse C, of ​​glad functie te zijn als alle afgeleiden van alle bestellingen. f van klasse C of analytische, als f continu differentieerbaar en is gelijk aan de Taylor serie uitgebreid om een ​​punt in zijn domein.

Constructie van functies volgens voorschrift

Meestal is het nuttig om continu differentieerbare functies nul neemt buiten een bepaald interval te construeren, maar niet erin. Dit is mogelijk; anders is het onmogelijk om een ​​machtreeks kan die eigenschap hebben. Dit bewijst dat er een grote kloof tussen continu differentieerbare functies en analytische functies; en dat in het algemeen continu differentieerbare functies niet noodzakelijk gelijk te zijn Taylorreeksen.

Een expliciete constructie van deze functies geven, kunnen we beginnen met de volgende functie

Niet alleen heb je te

maar ook

voor elk polynoom; Sinds de exponentiële groei met een negatieve exponent domineert. Hieruit volgt dat alle derivaten van f nul, nul:

wat betekent dat het instellen van f = 0 voor x ≤ 0 genereert een continu differentieerbare functie. Ff combinaties zoals kunnen worden gemaakt met elke gewenste interval ondersteuning; in dit geval het interval. Dergelijke functies zijn uiterst traag gedrag in de buurt van 0.

Topologische ruimte van de functies C en C

In een begrensd domein D in een Euclidische ruimte, de set van C-functies vormen een Banachruimte met de norm

Maar alle continu differentieerbare functies slechts Fréchet ruimte.

Relatie analytische functie theorie

Denken in termen van complexe analyse als een functie kan zijn

Het continu differentieerbaar voor werkelijke waarde van z, maar heeft een bijzonderheid bij z = 0. Dat wil zeggen, het gedrag bij z = 0 is slecht; maar het gebeurt dat je meestal niet kunt zien, omdat het vaak werkt met reële getallen.

Schijfpartities in continu differentieerbare functies

De continu differentieerbare functies met opgegeven gesloten ondersteuning worden toegepast bij de constructie van wanden onderscheiden eenheid; Deze zijn essentieel voor de studie spruitstukken bijvoorbeeld blijkt dat Riemannse variëteit algemeen kunnen worden gedefinieerd op basis van de lokale bestaan ​​van deze. Een eenvoudig geval is dat van een bult functie op de echte lijn, dat wil zeggen, een continu differentieerbare functie f dat de waarde 0 is buiten het bereik dat geldt:

Gegeven een aantal overlappende intervallen in de echte lijn, kan de bult functie ingebouwd elk daarvan en de semi-intervallen om de gehele lijn te dekken, zodat de som van functies altijd 1.

Zoals gezegd, schijf partities zijn niet van toepassing op holomorfe functies; hun verschillende gedrag en analytische voortzetting is een wortel van de bundel theorie. In plaats daarvan, de balken continu differentieerbare functies hebben de neiging niet veel topologische informatie te geven.

(0)
(0)
Vorige artikel Calcium
Volgende artikel Laurier

Gerelateerde Artikelen

Commentaren - 0

Geen reacties

Voeg een Commentaar

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Tekens over: 3000
captcha