Cartesiaanse coördinaten

Mei 15, 2016 Senne Smulders C 0 20
FONT SIZE:
fontsize_dec
fontsize_inc

De Cartesische of rechthoekige coördinaten zijn een soort van orthogonale coördinaten in Euclidische ruimten voor grafische weergave van een functie in coördinatengeometrie of beweging of fysieke positie, met het kenmerk, dat als referentie onderling orthogonale assen in kruisende een puntbron. Cartesische coördinaten worden gedefinieerd als de afstand vanaf de oorsprong van het orthogonale projecties op een bepaalde as elk punt. De aanwijzing van 'cartesiaanse' werd ter ere van René Descartes, die formeel voor het eerst gebruikt geïntroduceerd.

Als het systeem zelf is een tweedimensionaal systeem wordt genoemd platte vlak. De snit van de lijnen is afgestemd op het nulpunt van het rechte en staat bekend als de oorsprong van het systeem. De horizontale as of abscis wordt toegewezen gehele getallen van X; en de verticale as of Y-ja is toegewezen de gehele getallen. Te snijden de twee lijnen verdelen het vliegtuig in vier regio's, zijn deze gebieden genoemd kwadranten:

  • Eerste kwadrant "I": rechtsboven regio
  • Tweede kwadrant "II": linker regio
  • Derde kwadrant "III": linksonder regio
  • Vierde kwadrant "IV": rechtsonder regio

Het platte vlak wordt gebruikt om een ​​locatie toewijzen aan elk punt in het vlak. In de grafiek is de punt die in de 2 en 3 abscis op de ordinaat. De set wordt genoemd de "geordende paar" en ook elders kan worden gevestigd.

Een voorbeeld Cartesische coördinaten gebruikt om te definiëren een coördinatenstelsel of referentiesysteem opzichte hetzij eenassige twee assen of drie assen loodrecht op elkaar snijden onder een punt genaamd de oorsprong van de coördinaten. Op het vliegtuig, de zogenaamde cartesiaanse coördinaten abscis en ordinaat. De abscis is de horizontale coördinaat en wordt gewoonlijk weergegeven door de letter x, terwijl de ordinaat de verticale coördinaat en wordt vertegenwoordigd door en.

Geschiedenis

Cartesiaanse coördinaten worden genoemd ter ere van René Descartes, de beroemde Franse filosoof en wiskundige die wilde zijn filosofische gedachte baseren op de methode van het nemen van een "beginpunt" natuurlijk zou voortbouwen op alle kennis.

Aangezien de schepper van analytische meetkunde, Descartes begon ook het nemen van een "startpunt" in dit vakgebied, het cartesiaanse referentiesysteem, de vlakke geometrie, die slechts twee lijnen gebruikt loodrecht op elkaar die elkaar snijden in een punt genaamd "vertegenwoordigt coördineren van herkomst. "

Euclidische straight

Elk punt op een lijn kunnen meedoen en worden vertegenwoordigd door een reëel getal, positief als gelegen aan de rechterkant van het punt O, en negatief als het is aan de linkerkant. Dit punt is de oorsprong van de coördinaten O genoemd en is geassocieerd met de waarde 0.

Komt overeen met een dimensie, dat wordt voorgesteld door de X-as, waarbij een coördinatenoorsprong, gesymboliseerd door de letter O en een eenheidsvector in de positieve richting van de x gedefinieerd.

Dit coördinatensysteem is een één-dimensionale vector ruimte, en u kunt alle activiteiten met betrekking tot vectorruimten passen. Het wordt ook wel echte lijn.

Een punt:

Ook kan voorstellen:

De afstand tussen twee punten A en B is:

Euclidische vliegtuig

Met een referentiesysteem dat bestaat uit twee loodrechte lijnen elkaar snijden in de oorsprong, elk punt van het vlak kan worden "named": twee getallen zijn de coördinaten van het punt, genaamd respectievelijk abscis en ordinaat, die orthogonaal afstanden genoemde punt in het Cartesiaanse assen.

De vergelijking van de x-as y = 0, en de y-as is x = 0, rechte lijnen elkaar snijden in de oorsprong O, de coördinaten zijn natuurlijk.

Ook zogenaamde x-as de x-as en y-as en de as. De assen verdelen de ruimte in vier kwadranten waarbij de tekens van de coördinaten plaatsvervanger van positief naar negatief.

De coördinaten van elk punt wordt gegeven door de uitsteeksels van het segment tussen de oorsprong en het punt op elk van de assen.

Op elk van de eenheid vectoren als die assen parallel aan de assen en de omvormer module gedefinieerd. In vectorvorm wordt de positie van punt A gedefinieerd met betrekking tot de oorsprong van de vector componenten OA.

De positie van punt A is:

Merk op dat de lijst van coördinaten zowel de positie van een punt als componenten van een vector in matrixnotatie kunnen uitdrukken.

De afstand tussen twee punten wordt gegeven door de uitdrukking:

Toepassing van de stelling van Pythagoras aan driehoek ABC.

Een vector AB zal ofwel worden bepaald door het aftrekken van de coördinatie te coördineren, de oorsprong van het richtpunt:

Het is duidelijk dat de grootte van de vector AB de afstand d AB tussen punten A en B hierboven berekend zijn.

Euclidische ruimte

Als we een referentiesysteem bestaat uit drie lijnen loodrecht op elkaar, die elkaar snijden in de oorsprong, kan elk punt in de ruimte worden genoemd door drie getallen genoemd coördinaten van het punt: die orthogonaal afstanden tot de drie niveaus zijn: die met paren van assen YZ, XZ en YX respectievelijk.

XY vlakken van referentie; XZ; YZ en verdelen de ruimte in acht kwadranten waarin, zoals in het voorgaande geval, de tekens van de coördinaten kan positief of negatief zijn.

De veralgemening van eerdere relaties ruimte geval onmiddellijke, terwijl een derde coördinaat te bepalen van de positie van het punt is nu noodzakelijk.

De coördinaten van punt A zijn:

en B:

De afstand tussen de punten A en B is:

De AB segment zijn:

Veranderen van het coördinatensysteem

Zowel de platte behuizing en ruimte zaak zal worden beschouwd als drie elementaire transformaties: vertaling van herkomst, rotatie om een ​​as en schaalvergroting.

Vertaling van de oorsprong

Aangezien de oorspronkelijke coördinatensysteem S1 met de oorsprong O en x en y-as

en de coördinaten van een bepaald punt A, zijn in het systeem S1:

maakte een tweede referentiesysteem S2

Het is de coördinaten van de centra 0 en 0 'systemen verschillende punten, en x, x-as; y, y'parallel paren, en de coördinaten van O'respect S1:

Vertaling van de oorsprong wordt gezegd, om de coördinaten van A in S2 berekenen, volgens eerdere gegevens, noemen we:

Gezien de O, O'and Om punten, hebben we de vector som:

opheldering

Die is hetzelfde als:

Scheiden coördineren vectoren:

en uitbreiding naar drie dimensies:

Rotatie om de oorsprong

Omdat een coördinatensysteem in het vlak S1 met de oorsprong O en x en y-as:

en een orthonormale basis van dit systeem:

Op een gegeven moment het vliegtuig zal worden vertegenwoordigd in dit systeem door zijn coördinaten:

S2 een tweede referentiesysteem geroteerd onder een hoek ten opzichte van de eerste,

en een orthonormale basis:

Bij de berekening van de coördinaten van punt A, op dit tweede referentiesysteem, gedraaid ten opzichte van de eerste, is rotatie om de oorsprong genoemd en haar vertegenwoordiging:

Houd in gedachten dat het punt en zijn hetzelfde punt; een naam of een andere voor het referentiesysteem geven. De waarde van de coördinaten over de systemen, indien verschillend, en dat is wat moet worden berekend.

Vertegenwoordigen B1 naar B2 is:

Aangezien punt A in B1 is:

met bovenstaande transformatie wij:

En het ongedaan maken van de beugels:

herschikken:

Zoals:

We moeten:

Zoals we wisten:

Voor de identificatie van termen:

De coördinaten van A naar B2, op basis van de coördinaten van A en B1.

Geschubd

Het is een punt met de coördinaten in het vliegtuig. Indien de omvang van beide assen wordt veranderd in een factor λ, de coördinaten van dat punt in het nieuwe coördinatensysteem worden:

De schaal factor λ mag niet noodzakelijkerwijs hetzelfde voor beide assen.

Matrix berekening

Omdat de transformatie matrix waarvan rijen van de onderdelen van de eenheid vectoren i 'j' j en het origineel, of indien gewenst, waarvan de kolommen zijn de componenten van de oorspronkelijke eenheidsvectoren in de gedraaide referentiesysteem.

Opmerking: De vector grootheden zijn vet.

(0)
(0)
Vorige artikel Aftermath Entertainment
Volgende artikel Jaime Walvisch

Commentaren - 0

Geen reacties

Voeg een Commentaar

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Tekens over: 3000
captcha